学习影视特效需要哪些数学知识？（一）

3D 数学是一门和计算几何相关的科学；计算几何则是研究用数值方法解决几何问题的学科。这两门学科广泛应用于那些使用计算机来模拟3D 世界的领域，如图形学、游戏、仿真、机器人技术、虚拟现实和动画等。

学习3D数学，大家需要以下的基础：

1. 基本的代数几何知识；

2. 代数表达式变换；

3. 代数运算法则。如结合律、分配律；

4. 函数和变量；

5. 基本的2D 欧几里得几何知识；

6. 三角函数。

下面我们就具体的内容和大家做一个简单的介绍：

1. 坐标系统

2. 向量与向量运算

3. 坐标系

一、坐标系

坐标系是数学或物理学用语，定义如下：

对于一个n 维系统，能够使每一个点和一组（n 个）标量构成一一对应的系统。

坐标系可以用一个有序多元组表示一个点的位置。一般常用的坐标系，各维坐标的数字均为实数，但在高等数学中坐标的数字可能是复数，甚至是或是其他抽象代数中的元素（如交换环）。坐标系可以使几何学的问题转换为数字的问题，反之亦然，是解析几何学的基础。

描述地理位置时所用的经度及纬度就是坐标系统的一种。在物理学中，描述一系统在空间中运动的参考坐标系统则称作参考系。

1.1 数轴

数轴是最简单的坐标系，用一个实数标示一个点在线上的位置。数轴中会有一个原点O，以及单位长度及其方向。点P 的坐标为从O 到P 的有号距离，坐标是正值或负值则依P 点在原点的哪一侧来决定。数轴上每一个点都有唯一的坐标，每一个实数也都可以在数轴上找到唯一的对应点。

笛卡儿坐标系也称为直角坐标系，是最常用到的一种坐标系。是法国数学家勒内•笛卡尔在1637 年发表的《方法论》附录中提到的。 在平面上，选定二条互相垂直的线为坐标轴，任一点距坐标轴的有号距离为另一轴的坐标，这就是二维的笛卡儿坐标系，一般会选一条指向右方水平线称为x 轴，再选一条指向上方的垂直线称为y 轴，此两坐标轴设定方式称为“右手坐标系”。

若在三维系统中，选定三条互相垂直的平面，任一点距平面的有号距离为坐标，二平面的交线为坐标轴，即可产生三维的笛卡儿坐标系。一般会选择x 轴及y 轴是水平的，z 轴垂直往上，且三轴维持右手定则，若先将右手的手掌与手指伸直。然后，将中指指向往手掌的掌面 半空间，与食指呈直角关系。再将大拇指往上指去，与中指，食指都呈直角关系。则大拇指，食指，与中指分别表示了右手坐标系的 x- 轴，y- 轴，与 z- 轴。

此概念可以延伸，在n 维的欧几里得空间中建立n 维的笛卡儿坐标系。

1.2 极坐标系

极坐标系也是一种常用的平面坐标系统。实际上应用“极坐标”这个术语的是由格雷古廖•丰塔纳（Gregorio Fontana）开始的，是由乔治•皮科克（George Peacock）在1816 年翻译席维斯•拉克鲁克斯（Sylvestre FranCois Lacroix）的《微分学与积分学》（Traité du calcul différentiel et du calcul intégral）一书时，被翻译为英语的。

极坐标中会定一点为极点，再将一条通过极点的射线定为极轴。若给定一角度θ，则可绘出通过极点，和极轴夹角为θ 的唯一射线（角度是以从极轴，依逆时针方向旋转到射线），若再给定一实数r，可找出上述射线上，距极点距离为有号整数r 的一点。

在极坐标系中，一坐标（r, θ）只会其对应唯一的一点，但每一点均可对应许多个坐标。例如坐标（r, θ）、（r, θ+2π）及（-r, θ+π）都是对应同一点的不同坐标。而极点的坐标为（0, θ），θ 可为任意值。

1.3 坐标转换

坐标转换是指在描述同一个空间时，由原来的坐标系转换为另一个坐标系。

对于每一个由空间到空间本身的双射，可定义二种坐标转换：

•一种是每一个点在新坐标系坐标的双射，恰为旧坐标系的坐标。

•一种是每一个点在旧坐标系坐标的双射，恰为新坐标系的坐标。

例如一维的系统中，若一映射为是往右移三个单位，则第一个坐标转换会将原点从0 移到3，因此每个点的坐标都少了3，第二个座标转换会将原点从0 移到-3，因此每个点的坐标都多了3。

坐标之间的转换有一定的公式。例如若平面上的笛卡尔坐标（x, y）及极坐标（r, θ）原点相同，则可以用以下的公式从极坐标转换为笛卡尔坐标：x = r cosθ 及y = r sinθ。